第一部份

第一部份  数与代数
(一)数的认识
整数【正数、0、负数】
1、一个物体也没有,用0表示。0和1、2、3……都是自然数,也都是整数
2、最小的自然数是0,自然数的个数是无限的,没有最大的自然数。
3、0既不是正数,也不是负数。正数都大于0,负数都小于0。
4、整数包括正整数、0和负整数。如:-3、-17、0、90、6等。
5、整数的读写:多位数从个位起,每四位分为一级,可分为个级、万级、亿级。读数时,从最高位读起,一级一级地读。读万级和亿级的数时要按个级的读法来读,,并在后面加上级名。每一级末尾的0都不读,其他数位上无论有一个0或连续有几个0,都只读一个“零”。
6、整数的写法:写数时,先确定最高位是哪一级的哪个数位,然后从高位起,一级一级往下写,哪一位上一个也没有就在那一位上写0。
7、整数的数位从低位开始分别是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位……
整数的计数单位分别是一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……
8、大数目的改写:把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数,只要在万位或亿位右边点上小数点,再在数的后面添写“万”字或“亿”字。
在不改变原数大小的前提下,按要求改写数,写出的数是原数的准确数,根据需要还可以还原。例如:974800000=9.748亿,453200=45.32万。
9、求一个数的近似值(通常采用四舍五入法):把一个数保留整数、保留一位小数、保留两位小数、保留三位小数……也可以分别说成精确到个位、精确到十分位、精确到百分位、精确到千分位……
例如把8745603先改写成用“万”作单位的数,再省略“万”后面的尾数(精确到万位)
8745603=874.5603万≈875万
10、整数的大小比较:如果位数不同,位数多的数就大;如果位数相同,先看最高位,最高位上的数大的那个数就大,最高位相同,次高位上的数大的哪个数就大,如果还相同,则继续比较,以此类推,直到比较出大小为止。

小数【有限小数、无限小数】
1、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
2、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数,个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。
3、小数点向右移动一位、两位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……
小数点向左移动一位、两位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……
4、每个计数单位所占的位置,叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。
5、小数的读法:读小数时,整数部分仍按照整数的读法来读,整数部分是“0”的读作“零”,小数点读作“点”,小数部分按从左往右的顺序读出每个数位上的数字,小数部分的0要读。
6、小数的写法:写小数时,整数部分按照整数的写法去写,整数部分是0的写作“0”,小数点写在整数部分的右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
7、小数的基本性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。
8、根据小数的性质,通常可以去掉小数末尾的“0”,把小数化简。
9、比较小数大小的方法:先比较整数部分的数,再依次比较小数部分十分位上的数,百分位上的数,千分位上的数,从左往右,如果哪个数位上的数大,这个小数就大。
10、求小数近似数的一般方法:
(1)先要弄清保留几位小数;
(2)根据需要确定看哪一位上的数;
(3)用“四舍五入”的方法求得结果。

分数【真分数、假分数】
1、把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数,是这个分数的分数单位。
3、从小数和分数的意义可以看出,小数实际上就是分母是10、100、1000……的分数。
4、分数可以分为真分数和假分数。
5、分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。
6、分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。分子是分母倍数的假分数实际上是整数。
7、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
8、分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
9、应用分数的基本性质,可以通分和约分。
约分:用分子和分母同时除以它们的最大公因数,化成最简分数的过程。
通分: 根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程,叫做通分。
10、倒数:乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1,0没有倒数。

百分数【税率、利息、折扣、成数】
1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或
2、分数与百分数比较:    
                                                                                                                                      

不同点
相同点
分 数
可以表示具体数量,可以有单位名称
都可以表示两个数之间的关系
百分数
不可以表示具体数量,不可以有单位名称

3、折扣:在进行商品销售是,经常用到“打折扣”出售,简单说就是打折,几折就是十分之几,或用百分数百分之几十来表示。如:八折就是按原价的80%出售,六五折就是按原价的65%出售。
原价×折扣=现价    现价÷原价=折扣    现价÷折扣=原价
4、分数、小数、百分数的互化。
(1)把分数化成小数,用分数的分子除以分母。
(2)把小数化成分数,先改写成分母是10、100、1000……的分数,再约成最简分数。
(3)把小数化成百分数,先把小数点向右移动两位,然后添上百分号。
(4)把百分数化成小数,先去掉百分号,然后把小数点向左移动两位。
(5)把分数化成百分数,先把分数化成小数(除不尽时通常保留三位小数,也就是百分号前保留一位小数),再把小数化成百分数。
(6)把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是100的分数,能约分的要约成最简分数。
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几,就是求一个数比另一个数多(少)的占另一个数的百分之几。
拿多或者少的部分÷单位“1”
 6、利息=本金×利率×时间

因数与倍数【素数(质数)、合数、奇数、偶数】
1、4×3=12,12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
3、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。
4、5的倍数的特点:个位上的数是5或0。
  2的倍数的特点:个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是偶数。
  3的倍数的特点:各位上数的和一定是3的倍数。
5、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。
6、一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数就叫做素数(或质数)。
7、一个数,如果除了1和它本身之外还有别的因数,这样的数就叫做合数。
8、在1—20这些数中:
  素数:2、3、5、7、11、13、17、19。 
   合数:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。
1既不是质数,也不是合数
9、最小的奇数是1,最小的偶数是0,最小的素数是2,最小的合数是4。
10、如果两个数是倍数关系,则大数是最小公倍数,小数是最大公因数。
11、如果两个数只有公因数1,则最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
12、公因数只有1的两个数有以下几种情况:
(1)相邻的两个自然数
2)质数与质数
3)质数与合数(但合数不是质数的倍数)

(二)数的运算
计算法则【整数、小数、分数】
1、计算整数加、减法要把相同数位对齐,从低位算起。
2、计算小数加、减法要把小数点对齐,从低位算起。
3、小数乘法:
(1)先按整数乘法算出积是多少,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
(2)注意:在积里点小数点时,位数不够的,要在前面用0补足。
4、小数除法:
(1)商的小数点要和被除数的小数点对齐;
(2)有余数时,要在后面添0,继续往下除;
(3)个位不够商1时,要在商的整数部分写0,点上小数点,再继续除。
(4)把除数转化成整数时,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也要向右移动几位。
(5)当被除数的小数位数少于除数的小数位数时,要在被除数的末尾用0补足。
5、分数加、减法:
(1)同分母分数相加减,把分子相加减,分母不变。
(2)异分母分数相加减,要先通分化成同分母分数,然后再相加减。
6、分数大小的比较:
(1)同分母分数相比较,分子大的大,分子小的小。
(2)异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
7、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
8、甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

四则运算关系
加法
一个加数=和-另一个加数
减法
被减数=差+减数    减数=被减数-差
乘法
一个因数=积÷另一个因数
除法
被除数=商×除数   除数=被除数÷商
1、除法的商不变规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
2、简便计算
运算定律:
运算定律
用字母表示
加法交换律
a+b=b+a
加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律
a×b=b×a
乘法结合律
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c
减法运算规律
a-b-c=a-(b+c)
除法运算规律
a÷b÷c=a÷(b×c)
 2、乘、除法的互化。(小技巧:符号是相反的;两个数相乘得“1”。)
(1)A÷0.1=A×10
(2)A×0.1=A÷10
(7)A÷0.01=A×100; 
(8)A×0.01=A÷100
(3)A÷0.2=A×5
(4)A×0.2=A÷5
(9)A÷0.25=A×4
(10)A×0.25=A÷4
(5)A÷0.5=A×2
(6)A×0.5=A÷2
(11)A÷0.125=A×8
(12)A×0.125=A÷8
3、求近似数的方法。
(1)四舍五入法。 (2)进一法。 (3)去尾法。
4、积与因数、商与被除数的大小比较: 
第2个因数>1,积>第1个因数;
第2个因数=1,积=第1个因数;
第2个因数<1,积<第1个因数。
除数>1,商<被除数;
除数=1,商=被除数;
除数<1,商>被除数;

(三)式与方程
用字母表示数
1、在一个含有字母的式子里,数字和字母、字母和字母相乘时,中间的乘号可以记作“·”,也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时,要把数字写在字母的前面。
2、2a与a2意义不同:2a表示两个a相加,a2表示两个a相乘。即:2a=a+a,a2= a×a
3、用字母表示数:
(1)用字母表示任意数:如X=4  a=6
(2)用字母表示常见的数量关系:如s=vt
(3)用字母表示运算定律:如a+b=b+a
(4)用字母表示计算公式:S=ah
方程与等式
1、含有未知数的等式叫做方程。
2、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
3、求方程的解的过程,叫做解方程。
4、方程和等式的联系与区别:

方 程
等 式
联 系
方程一定是等式,等式不一定是方程
区 别
含有未知数
不一定含有未知数
5、等式的基本性质(一)
等式两边同时加上(或减去)一个相同的数,所得结果仍然是等式。
6、等式的基本性质(二)
等式两边同时乘(或除以)一个不等于零的数,所得结果仍然是等式。
7、列方程解应用题的一般步骤:
(1)弄清题意,找出未知数并用X表示。
(2)找出应用题中数量间的相等关系,并列出方程。
(3)求出方程的解。
(4)检验或验算,写出答案。 
(四)正比例与反比例
比和比例
1、比和比例的联系与区别: 

1、意义不同
比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
2、名称不同
比的名称
两点读作比,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比例的名称
组成比例的四个数叫做比例的项,两端的两项叫做比例的的外项,中间的两项叫做比例的内项。
3、性质不同
比的性质
比 的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变。
比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
4、应用不同
应用比的意义
求比值。
应用比的性质
化简比。
应用比例的意义
判断两个不能否组成比例。
应用比例的性质
不但可以判断两个比能否组成比例,还可以解比例。

2、比同分数、除法的联系与区别:

分数
除法

前项
分子
被除数
比号
分数线
除号
后项
分母
除数
比值
分数值
比的基本性质
分数的基本性质
除法的商不变性质
比表示两个数之间的关系。
分数表示一个数。
除法表示一种运算。

3、求比值与化简比的区别:

一 般 方 法
结  果
求比值
根据比值的意义,用前项除以后项。
是一个数。可以是整数、小数或分数。
化简比
根据比的基本性质,把比的前项和后项都乘或除以相同的数(零除外)。
是一个比。它的前项和后项都是整数,并且是互质数。

4、化简比:
(1)整数比的化简方法是:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)小数比的化简方法是:先把小数比化成整数比,再按整数比化简方法化简。
(3)分数比的化简方法是:用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。
5、比例尺:我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。
6、比例尺=图上距离︰实际距离
正比例、反比例
1、正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。
2、反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。           
3、正比例与反比例的区别: 

正 比 例
反 比 例
相 同 点
都有两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
不 同 点
商一定
=k(一定)
积一定
x×y=k(一定)
                            
第二部份  空间与图形
(一)图形的认识、测量
量的计量
1、长度单位是用来测量物体的长度的。常用的长度单位有:千米、米、分米、厘米、毫米。
2、长度单位:(10)
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
1米=100厘米

3、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。常用的面积单位有:平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
4、测量和计算土地面积,通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地,面积是1公顷。
5、测量和计算大面积的土地,通常用平方千米作单位。边长1000米的正方形土地,面积是1平方千米。
6、面积单位:(100)
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
7、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。常用的体积单位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升)。
8、体积单位:(1000)  
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升

9、常用的质量单位有:吨、千克、克。
10、质量单位:
1吨=1000千克
1千克=1000克
11、常用的时间单位有:世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
12、时间单位:(60)  
1世纪=100年
1年=12个月
1年=4个季度
1个季度=3个月
1个月=3旬
大月=31天
小月=30天
平年二月=28天
闰年二月=29天
1天=24小时
1小时=60分
1分=60秒
13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率;
   低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
14、常用计量单位用字母表示:
千米:km
米:m
分米:dm
厘米:cm
毫米:mm
吨:t
千克:kg
克:g
升:l
毫升:ml

平面图形【认识、周长、面积】
1、用直尺把两点连接起来,就得到一条线段;把线段的一端无限延长,可以得到一条射线;把线段的两端无限延长,可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分。线段有两个端点,长度是有限的;射线只有一个端点,直线没有端点,射线和直线都是无限长的。
2、从一点引出两条射线,就组成了一个角。角的大小与两边叉开的大小有关,与边的长短无关。角的大小的计量单位是(°)。
3、角的分类:小于90度的角是锐角;等于90度的角是直角;大于90度小于180度的角是钝角;等于180度的角是平角;等于360度的角是周角。
4、相交成直角的两条直线互相垂直;在同一平面不相交的两条直线互相平行。
5、三角形是由三条线段围成的图形。围成三角形的每条线段叫做三角形的边,每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6、三角形按角分,可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分,可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
8、在一个三角形中,任意两边之和大于第三边。
9、在一个三角形中,最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10、四边形是由四条边围成的图形。常见的特殊四边形有:平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11、圆是一种曲线图形。圆上的任意一点到圆心的距离都相等,这个距离就是圆的半径的长。通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12、有一些图形,把它沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这样的图形就是轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
14、物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。
15、平面图形的面积计算公式推导:
【1】平行四边形面积公式的推导过程?
 (1)把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
  (2)长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,长方形的面积等于平行四边形的面积。
  (3)因为:长方形面积=长×宽,所以:平行四边形面积=底×高。即:S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程?
(1)用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
  (2)平行四边形的底等于三角形的底,平行四边形的高等于三角形的高,三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
  (3)因为:平行四边形面积=底×高,所以:三角形面积=底×高÷2。即:S=ah÷2。 
【3】梯形面积公式的推导过程? 
(1)用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
  (2)平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和,平行四边形的高等于梯形的高,梯形面积等于平行四边形面积的一半。
  (3)因为:平行四边形面积=底×高,所以:梯形面积=(上底+下底)×高÷2。即:S=(a+b)h÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程
  (1)把圆分成若干等份,剪开后,拼成了一个近似的长方形。
(2)长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
(3)因为:长方形面积=长×宽,所以:圆面积=πr×r=πr2。即:S=πr2
16、平面图形的周长和面积计算公式: 
长方形周长=(长+宽)×2
长方形面积=长×宽
正方形周长=边长×4
正方形面积=边长×边长
平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×高÷2
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
C=πd
C=2πr
r=d÷2
r=C÷2π
d=2r
d=c÷π
S=πr2

17、常用数据:

常用π值
常用平方数
2π=6.28
3π=9.42
4π=12.56
5π=15.70
6π=18.84
7π=21.98
8π=25.12
9π=28.26
10π=31.4
12π=37.68
15π=47.1
16π=50.24
18π=56.52
20π=62.8
25π= 78.5
32π=100.48
2.25π=7.065
6.25π=19.625
112=121
122=144
13²=169
14²=196
152=225
252=625




立体图形【认识、表面积、体积】
1、长方体、正方体都有6个面,12条棱,8个顶点。正方体是特殊的长方体。
2、圆柱的特征:一个侧面、两个底面、无数条高。
3、圆锥的特征:一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
4、表面积:立体图形所有面的面积的和,叫做这个立体图形的表面积。
5、体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
6、圆柱和圆锥三种关系:
(1)等底等高:体积1︰3
(2)等底等体积:高1︰3
(3)等高等体积:底面积1︰3
7、等底等高的圆柱和圆锥:
(1)圆锥体积是圆柱的,
(2)圆柱体积是圆锥的3倍,
(3)圆锥体积比圆柱少,
(4)圆柱体积比圆锥多2倍。
8、等底等高的圆柱和圆锥:锥1、差2、柱3、和4。
9、立体图形公式推导:
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形?这个图形的各部分与圆柱有何关系?(圆柱侧面积公式的推导过程)
(1)圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
  (2)长方形的长相当于圆柱的底面周长,长方形的宽相当于圆柱的高。
(3)因为:长方形面积=长×宽,所以:圆柱侧面积=底面周长×高。
(4)圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。 
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时,是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形(近似的)进行推导的,请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系?
  (1)把圆柱分成若干等份,切开后拼成了一个近似的长方体。
(2)长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。
(3)因为:长方体体积=底面积×高,所以:圆柱体积=底面积×高。
即:V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程?
(1)找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
  (2)将圆锥装满沙子,倒入圆柱中,发现三次正好装满,将圆柱里的沙子倒入圆锥中,发现三次正好倒完。
  (3)通过实验发现:圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一;圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即:V=Sh。
10、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式:  

长方体棱长总和=(长+宽+高)×4
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
长方体体积=长×宽×高
正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积=棱长×棱长×棱长
圆柱侧面积=底面周长×高
圆柱表面积=侧面积+底面积×2
圆柱体积=底面积×高
圆锥体积:V=1/3Sh

(二)图形与变换
1、变换图形位置的方法有平移旋转等,在变换位置时,每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移,旋转相同的角度。
2、不改变图形的形状,只改变它的大小时,通常要使每个图形的要素,如长方形的长与宽,三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合,而不是完全相同。

第三部份  统计与可能性
(一)统计

1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
3、条形统计图的特点:从图中能清楚地看出各种数量的多少,便于比较。
4、折线统计图的特点:不但能看出各种数量的多少,而且还能够清楚地表示出数量增减变化的趋势。
5、扇形统计图的特点:表示各部分数量和总数量之间的关系
(二)可能性
1、
事件状态
生活情景
数学情景
一定会发生
太阳从东方升起
从5个红球中摸出一个红球
一定不会发生
鸭子会讲话
从5个红球中摸出一个白球
可能发生
今天会下雨
从5个红球,1个白球中摸出一个白球
2、在可能性相同的情况下,比赛游戏规则是公平的。